Choix, votes, élections : le théorème d’Arrow

Le théorème d’Arrow est comme une flèche qui aurait tué la démocratie : « toute démocratie est une dictature ! ». Heureusement, la démocratie a la peau dure...

Platon écrit, dans La République, qu’à son avis, la « démocratie apparaît lorsque les pauvres, ayant emporté la victoire sur les riches, massacrent les uns, bannissent les autres, et partagent également avec ceux qui restent le gouvernement et les charges publiques ; et le plus souvent ces charges sont tirées au sort. » Ainsi, voter pour élire un président ou des représentants n’est pas, contrairement à ce que l’on veut nous faire croire, une garantie de vie en démocratie. Cependant, même dans la démocratie athénienne une assemblée peut être appelée à voter pour prendre une décision. Ainsi par exemple un comité de sélection chargé du recrutement d’un maître de conférence à l’université vote-t-il pour classer les candidats à ce poste.

Le problème du vote a depuis longtemps intéressé les savants. Nombreux sont ceux qui ont entendu parler du paradoxe de Condorcet [1], énoncé par icelui au dix-huitième siècle, moins nombreux sont ceux qui ont lu les articles d’arithmétique politique de Gergonne au début du dix-neuvième. Nous allons ici nous entretenir brièvement d’un résultat de 1950 dû à Kenneth Arrow.

L’article d’Arrow

Son article s’intitule A difficulty in the concept of social welfare et est paru au Journal of political economics [2]. Kenneth Arrow a obtenu en 1972 le Prix de la banque de Suède en sciences économiques à la mémoire d’Alfred Nobel [3] : dans la longue introduction de son article il écrit que « la rationalité s’identifie avec une maximisation » et que même si, devant les difficultés, la définition de rationalité doit être affaiblie, cela ne doit être qu’un préliminaire à la « détermination d’un véritable maximum social au sens plein et entier. » Plus loin il fait l’hypothèse que « les individus agissent rationnellement ».

Les comités de sélection sont un exemple illustrant toute la validité d’une telle hypothèse d’action rationnelle puisque leurs membres sont soigneusement choisis pour être des parangons de rationalité. D’autre part, dans la nouvelle gouvernance universitaire [4] on cherche à maximiser une quantité numérique, grosso-modo le facteur d’impact d’un chercheur. On atteint ainsi, à n’en pas douter, un véritable optimum social.

Arrow formalise mathématiquement la notion d’action rationnelle dans ce qu’il appelle une « carte d’indifférence » qui est, grossièrement, un classement des possibilités parmi lesquelles on doit choisir. Dit autrement, chaque votant doit être en mesure de classer les possibilités qui lui sont offertes sans ambiguïté : son vote est une liste ordonnée (premier : untel, deuxième : un-autretel etc...) des options proposées (c’est-à-dire, dans le cas d’un comité de recrutement, des différents candidats).

Le théorème d’Arrow

Venons-en à l’énoncé du théorème d’Arrow. Un certain nombre N d’individus (une douzaine pour un comité de sélection) doit voter pour choisir un classement de n options (« recruter Euclide, al-Khwarizmi, Euler, Gauß ou Poincaré ? », par exemple). Le plus souvent les options sont numérotées, comme il se doit dans une démocratie moderne. Dans le cas du recrutement et afin de préserver l’anonymat des candidats, nous les numéroterions par numéro de sécurité sociale, mais nous garderons ici leur nom par commodité, d’autant qu’Euler a un numéro de sécurité sociale imaginaire pur tandis qu’al-Khwarizmi n’en a pas, étant entré illégalement sur le territoire français. Dans le cadre considéré par Arrow, le vote se déroule de la manière suivante : chaque individu Ik choisit un classement des options proposées. Le premier membre du comité de sélection choisit donc par exemple le classement suivant :

Poincaré 1, Gauß 2, Euclide 3, al-Khwarizmi 4 et Euler 5,

tandis que le second votant consulte un site de numérologie pour établir son classement qui est

Euler 1, Poincaré 2, Euclide 3, Gauß 4 et al-Khwarizmi 5.

Le vote du ke individu est donc une liste ordonnée Ok de l’ensemble des options. Cette liste est sans ambiguïté sur l’ordre choisi ; dit autrement pour toute paire d’options x,y, le votant choisit une et une seule des possibilités : « je classe x avant y » ou « je classe y avant x ». D’autre part ce classement est tel que si le votant préfère x à y et y à z alors il préfère x à z. En termes mathématiques, on dit que le votant propose une relation d’ordre totale sur l’ensemble des options.

Une fois que chaque votant a fait son choix, on entre la famille des listes ordonnées (O1,…,ON) dans une machine qui sort un classement Oc qui est censé être le classement représentatif des désirs de la majorité.

Dans l’exemple du comité de sélection, on dispose des 12 classements proposés par les 12 membres du comité, dont les deux premiers peuvent s’écrire Poincaré > Gauß > Euclide > al-Khwarizmi > Euler et Euler > Poincaré > Euclide > Gauß > al-Khwarizmi.

Le septième votant, lui, fournit la liste suivante :

Euclide > Gauß > al-Khwarizmi > Poincaré > Euler.

ll l’a discrètement tirée au sort, étant incapable d’ordonner complètement cette liste sans une discussion approfondie avec ses collègues qui permettrait de dégager, par exemple, que c’est al-Khwarizmi qui serait le plus approprié pour être un futur collègue dans son laboratoire. Le septième votant est connu pour son manque de rationalité.

Une fois les votes recueillis dans un grand chapeau, le président du comité rentre tous ces ordres dans son iPad et le programme fourni par la présidence de son université sort le classement qui sera proposé au conseil de l’université. Afin d’éviter toute protestation, celui-ci n’est pas transmis aux membres du comité, le suspense est insoutenable.

Pour résumer, le cœur de la machine électorale est une application, dite fonction de choix social chez Arrow, qui à chaque vote représenté par un ensemble de N classements (O1,…,ON) associe un unique classement Oc que nous devrions plutôt noter C(O1,…,ON) afin de rappeler que ce classement, présumé représenter le classement socialement optimal, dépend bien évidemment du vote.

On demande à la fonction de choix social de satisfaire à un certain nombre de propriétés qui semblent des exigences assez naturelles pour que celle-ci fournisse un classement un tant soit peu représentatif des désirs des votants :

— le principe d’unanimité, qui énonce que si tous les individus préfèrent l’option x à l’option y, alors le choix final préfère x à y. Dit autrement, si pour tout individu k on a x>y dans le classement Ok choisi par k, alors x>y dans le choix social Oc. Dans le comité de sélection, il est clair que si tout le monde préfère Poincaré à Euler, alors le vote final doit lui aussi classer Poincaré devant Euler ;

— l’absence de dictateur. Elle stipule que la fonction de choix social ne coïncide pas en permanence avec le choix d’un des individus (le dictateur), quels que soient les choix des autres votants. Dit autrement, il n’existe pas d’individu Ik tel que quel que soit le vote (O1,…,ON), Oc soit égal au choix Ok de Ik. Dans l’exemple du comité de sélection, le programme entré dans l’Ipad du président ne doit pas sortir systématiquement le choix du président ;

— l’indépendance aux alternatives. Pour la comprendre, imaginons que le même comité de sélection vote deux fois de suite sur la même liste de candidats, parce que, par exemple, le chapeau dans lequel on récolte les bulletins s’est renversé. Quelques votants peuvent avoir changé d’avis entre les deux votes. Si cependant dans les deux votes les positions relatives d’Euler et de Poincaré sont les mêmes pour tous les votants, alors le principe d’indépendance aux alternatives stipule que pour les deux votes, le classement final donné par l’Ipad du président ordonnera Euler et Poincaré de la même manière. Voici un exemple : supposons que le comité de sélection n’ait que trois votants. Lors du premier vote, les choix des votants sont :

V1 : Poincaré > Gauß > Euclide > al-Khwarizmi > Euler,

V2 : Euler > Poincaré > Euclide > Gauß > al-Khwarizmi

V3 : Euclide > Gauß > al-Khwarizmi > Poincaré > Euler.

Patatras, le chapeau se renverse et l’on demande aux membres du comité de voter à nouveau. Ayant quelques regrets, le second et le troisième membres changent légèrement leurs votes :

V1 : Poincaré > Gauß > Euclide > al-Khwarizmi > Euler,

V2 : Euler > Poincaré > Gauß > Euclide > al-Khwarizmi

V3 : Euler > Euclide > Gauß > Poincaré > al-Khwarizmi.

Comme on le voit, dans les deux votes, aucun des votants n’a changé son choix quant aux positions relatives de Poincaré et d’Euclide. Dans les deux votes on a

V1 : Poincaré > Euclide

V2 : Poincaré > Euclide

V3 : Euclide > Poincaré.

Pour ces deux votes, la machine doit produire une liste finale Oc dans laquelle Euclide et Poincaré ont les mêmes positions relatives. De manière générale, si l’on a deux votes (O1,…,ON) et (O′1,…,O′N) et deux options x et y telles que pour tout k x et y soient ordonnés de la même manière dans Ok et dans O′k, alors la fonction de choix va ordonner de la même manière x et y pour les deux votes. Ainsi la fonction de choix ne doit pas faire apparaitre, pour dire si x est préféré à y, que les électeurs peuvent avoir fait ce choix en connaissance des autres alternatives possibles. La condition d’indépendance aux alternatives est intéressante car, au premier abord, on pourrait croire qu’elle ne fait que paraphraser la règle de l’unanimité, mais il n’en est rien [5].

Nous pouvons maintenant énoncer :

Théorème d’Arrow : dès que le nombre de choix possibles est supérieur ou égal à 3, il n’existe pas de fonction de choix social qui simultanément satisfait au principe d’unanimité, est sans dictateur et est indépendante aux alternatives.

On le trouve souvent cité comme suit : une fonction de choix social qui vérifie à la fois le principe d’unanimité et l’indépendance aux alternatives admet un dictateur. Curieusement on ne le cite jamais sous la forme suivante : une fonction de choix social qui satisfait au principe d’unanimité et n’admet pas de dictateur ne peut être indépendante aux alternatives. Le principe d’indépendance est pourtant problématique puisqu’il suppose que l’on tienne compte dans le vote de « qui a voté quoi ». Ainsi viole-t-il un autre principe, celui de l’égalité des votants. Ne pourrait-on voir le théorème d’Arrow, cent quarante ans après Gergonne, comme une confirmation supplémentaire de la nocivité du scrutin censitaire [6] ?

Pour ma part, je préfère voir dans ce théorème une démonstration de l’impossibilité de mécaniser la démocratie. Celle-ci doit se nourrir de nombreux débats, de discussions et de palabres afin de pousser au plus loin la recherche du consensus. Le vote ne devrait intervenir qu’en dernière instance, pour valider un choix construit par la collectivité.

Voyons ce qui se passe dans le comité de sélection donné ci-dessus en exemple : même dans une université d’Excellence comme UT* ou A*MIDEX [7], le comité de sélection ne peut se soustraire au théorème d’Arrow. Le classement finalement retenu a été le suivant :

Euler > Euclide > Gauß > Poincaré > al-Khwarizmi.

Il se trouve que quoiqu’ait été le vote des membres du comité, c’est celui du membre numéro 3 qui aurait été choisi, celui-ci étant le représentant de l’Idex et ayant donc voix prépondérante. Il est le Primus Inter Pares et la machine de vote viole donc la seconde loi énoncée dans le théorème d’Arrow : l’absence de dictateur. C’est la garantie d’une gouvernance moderne et ambitieuse.

P.S. :

6 mois après l’écriture de cet article j’ai appris qu’Euler n’avait pu être recruté, la préfecture ayant décrété que les nombres imaginaires n’existaient pas. Les autres candidats étant décédés entre-temps, le poste a été redéployé vers la recherche en management des établissements hospitaliers.

Un article de Rémi Peyre à paraître prochainement sur ce site vous permettra d’approfondir les questions soulevées ici sur le problème de la prise de décision grâce à un vote.

La rédaction d’Images des maths, ainsi que l’auteur, remercient pour leur relecture attentive, les relecteurs dont le pseudonyme est le suivant : Serma, Nicolas Chatal, Jérôme Poineau et Laurent Bétermin.

Notes

[1] Un article de Rémi Peyre le décrira sur ce site d’ici quelques jours.

[2] Voici un lien vers l’article original de K. Arrow.

[3] Connu aussi sous le nom de « Prix Nobel d’Économie ».

[4] Voir une analyse de L’IDEX toulousain UT* sur le site du Syndicat National des Chercheurs Scientifiques.

[5] Ainsi peut-on imaginer faire jouer des étudiants (par exemple en première année à l’Université) avec les hypothèses du théorème d’Arrow afin de les familiariser avec des énoncés où l’ordre des quantificateurs a un rôle important.

[6] Dans son article de 1820 aux Annales de Gergonne, on lit ceci : « Qu’on nous vante tant qu’on voudra les républiques de Sparte, d’Athènes et de Rome. Je n’aime pas moi cette liberté du petit nombre qui est fondée sur l’esclavage de tout le reste. » On trouve le texte complet ici.

[7] Pour savoir ce que recouvrent ces doux acronymes, voir le site du SNCS ci-dessus, ou encore le texte plus concis que j’ai écrit pour mes collègues aixo-marseillais récemment. Les plus courageux peuvent lire le dossier complet de l’IDEX toulousain ici.

Kenneth Joseph Arrow (23 août 1921 à New York) est un économiste américain. Il est co-titulaire, avec John Hicks, du prix « Nobel d'économie » en 1972. Il est considéré comme l'un des fondateurs de l'École néoclassique moderne (c-à-d post-seconde guerre mondiale).

Après ses études au lycée de Townsend Harris (New York), Kenneth Arrow passe sa licence au City College of New York en 1940, puis il obtient un master à l'Université Columbia en 1941, où il effectuera finalement un Ph.D en 1951. De 1946 à 1949, il passe son temps en partie en tant qu'étudiant gradué à Colombia et en partie en tant qu'associé de recherches à la Cowles Commission for Research in Economics, à l'université de Chicago. En même temps, il est professeur auxiliaire dans les sciences économiques à l'université de Chicago. En 1951, il a gagné son Ph.D. de Colombie. Il est actuellement expert dans les sciences économiques et professeur de recherche opérationnelle honoraire à l'université Stanford.

Il est récipiendaire de la National Medal of Science 2004, l'honneur scientifique le plus élevé de la nation, remise par le Président George W. Bush, pour ses contributions à la recherche sur les problèmes de prise de décision en information imparfaite dans la prise de risque. Il est un des membres fondateurs de l'Académie pontificale des sciences sociales. Arrow est également un administrateur de Economists for Peace and Security. Il avance la notion d'effet d'expérience pour expliquer le changement technique au sein de la théorie néoclassique

L'impact des travaux de Kenneth Arrow en sciences économiques a été énorme. Pendant plus de cinquante ans, il est un des économistes les plus écoutés. Il doit à juste titre sa notoriété dans cette discipline à son théorème d'impossibilité, et à ses importantes contributions à la théorie du choix social, à la théorie de la croissance endogène, à l'économie de l'information ainsi qu'à ses travaux sur la théorie de l'équilibre général. C'est lui qui a introduit le premier en économie, le concept de l'apprentissage par l'action (learning by doing). Les individus sur le marché deviennent de plus en plus rationnels en échangeant car ils apprennent (de leurs erreurs), d'où les coordinations possibles.

Démontré dans sa thèse Choix social et valeurs individuelles (Social choice and individual values) le théorème d'impossibilité d'Arrow montre que des règles pour établir un choix collectif ne peuvent répondre à quelques critères pourtant jugés "raisonnables": Arrow montre qu'il est impossible de définir l'intérêt général à partir des choix individuels. Ce résultat très théorique, surnommé le paradoxe d'Arrow ou la « démocratie impossible », a été utilisé par les économistes libéraux pour montrer que l'aspect démocratique d'un État ne rend pas forcement légitimes ses décisions. Ce théorème confirme ce qu'avait déjà établi Condorcet, connu sous le nom de paradoxe de Condorcet.

Arrow's impossibility theorem : There is no social decision (voting) rule that converts individual preferences into a consistent aggregate decision without either (1) restricting preferences to single-peaked preferences or (2) imposing a dictatorship.

En collaboration avec Gérard Debreu, Arrow est le premier à fournir une preuve rigoureuse de la possibilité d'existence, sous des conditions précises et extrêmement restrictives, d'un équilibre général de marché. Ce modèle est depuis devenu la version moderne du modèle de concurrence pure et parfaite.

Arrow est un des économistes qui ont cherché à comprendre les origines de la croissance sur une longue période. Selon Arrow, l'efficacité des facteurs de production dépend de l'apprentissage par la pratique: la combinaison productive devient de plus en plus efficace au fur et à mesure qu'elle est mise en pratique. Romer reprendra cette analyse dans la théorie de la croissance endogène selon laquelle le processus de croissance est cumulatif.