MHD

La magnétohydrodynamique (MHD) est une discipline scientifique qui décrit le comportement d'un fluide conducteur du courant électrique (liquide ou gaz ionisé appelé plasma) en présence de champs électromagnétiques.

C'est une généralisation de l'hydrodynamique (appelée plus communément mécanique des fluides, définie par les équations de Navier-Stokes) couplée à l'électromagnétisme (équations de Maxwell). Entre la mécanique des fluides « classique » et la magnétohydrodynamique, se situe l'électrohydrodynamique ou mécanique des fluides ionisés en présence de champs électriques (électrostatique), mais sans champ magnétique.

Le physicien suédois Hannes Alfvén fut le premier à employer le terme magnétohydrodynamique, en 1942¹. Il reçut le prix Nobel de physique en 1970 pour ses travaux sur le sujet.

Il existe plusieurs modèles de la magnétohydrodynamique selon le degré de complexité nécessaire. Parmi les plus utilisés et plus simples sont :

• la « MHD idéale »
• la « MHD résistive »

Le choix de l'un ou l'autre de ces deux modèles dépend de la valeur du Nombre de Reynolds magnétique R_m. Ce nombre, utilisé en MHD est ainsi nommé par analogie au nombre de Reynolds en hydrodynamique.

La MHD idéale, dite aussi à fort nombre de Reynolds magnétique (R_m ≫ 1), est la forme la plus simple de la MHD. Le fluide, fortement magnétisé, est traité comme ayant peu ou pas de résistance électrique, et on l'assimile à un conducteur parfait. La loi de Lenz s'applique de telle sorte que fluide et lignes de champ magnétique sont intimement liés : on dit que les lignes de champ sont "gelées" (frozen in) dans le plasma (on peut également dire que le plasma est gelé dans le champ magnétique). On dit que le théorème du gel est satisfait. Une analogie consiste à comparer le fluide à un peigne et les lignes de champ aux cheveux : le mouvement des cheveux suit exactement ceux du peigne. Cette MHD idéale est étudiée dans les plasmas chauds, tels les plasmas astrophysiques et thermonucléaires d'origine naturelle (étoiles) ou artificielle (tokamaks).
Les équations de la MHD idéale consistent en l'équation de continuité, les lois de la quantité de mouvement, le théorème d'Ampère (dans la limite de l'absence de champ électrique et de diffusion de l'électron) et les équations de la thermodynamique (conservation de l'énergie). Comme toute description fluide d'un système cinétique, on effectue des approximations du flux de chaleur via des conditions adiabatiques ou isothermes.

La MHD résistive, dite à faible nombre de Reynolds magnétique (R_m ≤ 1) décrit les fluides magnétisés et non parfaitement conducteurs. On parle en général d'une résistivité engendrée par les collisions entre les constituants du plasma, qui transforment l'énergie magnétique en chaleur (chauffage Joule). Lorsque la résistivité est non négligeable, (nombre de Reynolds petit), le théorème du gel n'est plus satisfait et la topologie magnétique peut être brisée.
Dans un fluide considéré comme un conducteur non parfait, l'évolution du champ magnétique dans le fluide est donnée par l'équation d'induction résistive. La variation locale du champ magnétique avec le temps est le résultat de son advection par le fluide et de sa diffusion dans le fluide. Le nombre de reynolds est en facteur inverse de l'opérateur de diffusion, plus il est grand et plus on peut négliger la diffusion par rapport à l'advection. On peut quantifier l'importance de la diffusion en construisant un temps de diffusion.
Par exemple, dans le Soleil, on estime le temps de diffusion à travers une région active (résistivité collisionnelle) en centaines ou milliers d'années, durée bien plus longue que la vie d'une tache solaire, on néglige donc la résistivité (cas de la MHD idéale). À l'inverse, un mètre cube d'eau de mer possède un temps de diffusion se mesurant en millisecondes, dont on doit tenir compte (MHD résistive). Par rapport à la MHD idéale, la MHD résistive implique un terme supplémentaire dans le théorème d'Ampère modélisant la résistivité collisionnelle.
Même dans les systèmes physiques assez grands et bons conducteurs, où il semblerait a priori que la résistivité puisse être ignorée, cette dernière peut tout de même être importante : beaucoup d'instabilités surviennent, notamment dans les plasmas, pouvant l'augmenter très fortement d'un facteur 1 milliard. Cette résistivité augmentée est habituellement le résultat de la formation de structures à petite échelle, telles les courants électriques en strates, ou des turbulences électroniques et magnétiques localisées (voir par exemple l'instabilité électrothermique dans les plasmas à fort paramètre de Hall).
La MHD-gaz industrielle, utilisant des plasmas froids (gaz bitempérature, hors d'équilibre, où seul le gaz d'électrons est chauffé à 10 000 K, alors que le reste du gaz (ions et neutres) est froid aux alentours de 4 000 K) entre dans cette catégorie de MHD à faible nombre de reynolds magnétique.

Selon la finesse requise, on peut complexifier le modèle de base de la MHD en prenant en compte différents effets se produisant dans le plasma. On peut ainsi créer la MHD-Hall, la MHD bi-fluides...

• MHD-Hall : À l'échelle de la longueur d'inertie des ions, la loi d'Ohm idéale et/ou résistive n'est plus valable. En effet, à cette échelle, l'inertie des ions se fait sentir et tend à différencier localement leur mouvement de celui des électrons. Le courant ainsi formé crée un champ magnétique. Les électrons, sensibles à la force de Laplace, créent un champ électrique de charge d'espace pour conserver la quasi-neutralité. La MHD-Hall modélise ce phénomène en tenant compte de ce champ électrique en rajoutant la force de Laplace qui lui est égale, dans la loi d'Ohm, modifiant ainsi l'équation d'induction du champ magnétique. Le terme de Hall ainsi ajouté dans la loi d'Ohm insère une échelle caractéristique dans le système d'équation de la magnétohydrodynamique, qui en était jusqu'alors dépourvue. Cette longueur caractéristique est la longueur d'inertie des ions. On passe d'un système d'équation auto-similaire (c'est-à-dire, qui ne dépend pas de l'échelle considérée) à un système dépendant des échelles du système étudié. On peut aussi parfois tenir compte du gradient de pression électronique dans la loi d'Ohm de la MHD Hall. En 1960, M. J. Lighthill critique la théorie des MHD idéale et résistive appliquées aux plasmas², à cause de l'absence de courant de Hall, simplification fréquente en théorie de la fusion magnétique. La théorie Hall-MHD prend en compte cette composante du champ électrique de Hall dans la MHD³.

• MHD bi-fluides : La MHD bi-fluide revient à rajouter l'inertie des électrons dans la loi d'Ohm modélisant le champ électrique. Physiquement, cela revient à dire qu'à une certaine échelle (la longueur d'inertie des électrons), l'accélération des électrons ne peut plus être négligée, les électrons ne sont plus à l'équilibre statique.

• autres modèles...

D'autres détails peuvent encore être ajoutés au modèle magnétohydrodynamique. On peut tenir compte de l'anisotropie de température créée par la direction du champ magnétique, on peut par exemple tenir compte des anisotropies dans le plan de gyration des particules en modélisant la température comme un tenseur 3x3 complet.